HÀ HUY KHOÁI (Tổng Chủ biên)
CUNG THẾ ANH – ĐẶNG HÙNG THẮNG (đồng Chủ biên)
NGUYỄN ĐẠT ĐĂNG – NGUYỄN THỊ KIM SƠN

CHUYÊN ĐỀ HỌC TẬP

TOÁN

12
SÁCH GIÁO VIÊN

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM

29

CHUYÊN ĐỀ 1. BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG
CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC
A

TỔNG QUAN

1 Vị trí, vai trò của chuyên đề
– Biến ngẫu nhiên là một chủ đề lớn trong Xác suất, tương tự như chủ đề Hàm số trong
Giải tích. Chuyên đề giới thiệu một loại biến ngẫu nhiên đơn giản là biến ngẫu nhiên rời
rạc và một trường hợp riêng tiêu biểu của nó là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức.
– Các ví dụ, bài tập và ứng dụng của chuyên đề được lấy từ chính thực tế cuộc sống hoặc
rất gần gũi với cuộc sống nhằm trang bị cho HS những kiến thức và kĩ năng để có thể
giải quyết những bài toán tính xác suất thường gặp trong thực tế.

2 Cấu tạo chuyên đề
Chương này gồm 2 bài học và 2 tiết ôn tập chuyên đề, được thực hiện trong 12 tiết. Cụ thể
như sau:
Bài 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng (5 tiết).
Bài 2. Biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức và áp dụng (5 tiết).
Bài tập cuối chuyên đề 1 (2 tiết).

3 Một số điểm cần lưu ý
– Các bài học trong chuyên đề sử dụng các kiến thức xác suất trong từ lớp 10 đến lớp 12
như: phương pháp tổ hợp tính xác suất, công thức cộng xác suất, công thức nhân xác
suất cho hai biến cố độc lập, công thức nhân xác suất cho hai biến cố bất kì.
– Vì vậy trước khi vào bài, GV cần ôn tập, củng cố lại cho HS các khái niệm này.

30

B

GIỚI THIỆU CHI TIẾT CÁC BÀI HỌC

Bài 1. BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC VÀ CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG (5 tiết)
I. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức, kĩ năng
Học xong bài này, học sinh cần đạt được các yêu cầu sau:
– Nhận biết khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc
– Biết lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc.
– Biết tính các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc (kì vọng, phương sai và độ
lệch chuẩn) và hiểu biết được ý nghĩa của chúng.

2. Về năng lực, phẩm chất
– Năng lực tư duy và lập luận toán học.
– Năng lực giao tiếp toán học.
– Năng lực mô hình hoá toán học.
– Năng lực giải quyết vấn đề toán học thông qua các bài toán thực tiễn.

II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
– Cố gắng kết nối bài học trong sách với cuộc sống thực đang diễn ra.
– Phát huy tính tích cực của HS, khắc phục nhược điểm của phương pháp truyền thụ
một chiều trước đây.
– Tăng cường các hoạt động và luyện tập trên lớp, tăng cường sự tương tác hai chiều
giữa GV và HS.
– Sau khi kiến thức mới được hình thành và đóng khung trong hộp kiến thức, sẽ có ví
dụ minh hoạ. Ví dụ đóng vai trò làm mẫu cho Luyện tập tiếp nối ngay theo Ví dụ.
– Các Hoạt động, Luyện tập được thực hiện ngay tại lớp. GV cho HS suy nghĩ 5 – 10
phút rồi hỏi để HS trả lời. Nếu không có HS nào xung phong thì GV chỉ định một
HS. GV sẽ thực hiện việc chữa bài Hoạt động, Luyện tập đó như sau: Nếu HS làm
đúng GV sẽ trình bày lại lời giải của HS đó cho rõ ràng và mạch lạc. Nếu HS đó sai
GV sẽ phân tích xem sai đâu. Trong mọi trường hợp việc chữa bài Luyện tập đều rất
có ích cho việc củng cố kiến thức mới.
31

III. GỢI Ý DẠY HỌC
1. Thời lượng
Dự kiến phân bổ thời gian: 5 tiết gồm 2 mục sau:
1. Biến ngẫu nhiên rời rạc và bảng phân bố xác suất của nó: 3 tiết.
2. Kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc: 2 tiết.

2. Thực hiện các hoạt động chính của bài học
HOẠT
ĐỘNG

MỤC ĐÍCH,
YÊU CẦU

GỢI Ý THỰC HIỆN

1. BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC VÀ BẢNG PHÂN BỐ XÁC SUẤT CỦA NÓ
Tình
huống
mở đầu

Giới thiệu một
tình
huống
xuất hiện biến
ngẫu nhiên rời
rạc.

GV triển khai theo SGK.

HĐ1

Khởi
động
cho việc hình
thành
khái
niệm
biến
ngẫu nhiên rời
rạc

GV cho cả lớp suy nghĩ trong thời gian tối đa 5 phút rồi chỉ
định một em trả lời.
Trả lời:
a) Các giá trị có thể của X là một số thuộc tập {0; 1; 2; 3; 4;
5; 6}.
b) Trước khi thực hiện việc gieo liên tiếp 6 lần đó, ta không
nói trước được X sẽ nhận giá trị nào.

Khung
kiến
thức

Trình bày khái GV triển khai theo SGK.
niệm
khái
niệm
biến
ngẫu nhiên rời
rạc.

Ví dụ 1

Minh họa cho GV triển khai theo SGK.
cách thiết lập
bảng phân bố
xác suất của
biến
ngẫu
nhiên rời rạc.

32

Khung
kiến
thức

Trình bày khái GV triển khai theo SGK.
niệm
bảng
phân bố xác
suất của biến
ngẫu nhiên rời
rạc.

HĐ2

Củng cố khái GV cho cả lớp suy nghĩ trong thời gian tối đa 5 phút rồi chỉ
niệm
bảng định một em trả lời.
phân bố xác Trả lời:
suất của biến
0
1
2
3
X
ngẫu nhiên rời
1
3
3
1
rạc.
P
8
8
8
8

Khung
kiến
thức

Trình bày một GV triển khai theo SGK.
tính chất quan
trọng
của
bảng phân bố
xác suất

Ví dụ 2

Củng cố việc GV triển khai theo SGK.
nhận biết tính
chất
bảng
phân bố xác
suất.

Ví dụ 3

Minh hoạ ứng GV triển khai theo SGK.
dụng
bảng
phân bố xác
suất.

Ví dụ 4

Minh hoạ việc GV triển khai theo SGK.
thiết lập bảng
phân bố xác
suất.

Luyện
tập 1

Luyện
tập GV cho cả lớp suy nghĩ trong thời gian 10 – 15 phút rồi chỉ
thiết lập bảng định một em trả lời.
phân bố xác Giải. Các giá trị có thể của X thuộc tập {0; 1; 2; 3}. Tiếp theo
suất. Ví dụ 4
33

đóng vai trò ta cần tính P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2) và P(X = 3).
làm mẫu.
3
= 560.
Số kết quả có thể là C16

a) Biến cố (X = 0) là biến cố: “Chọn được 3 HS nữ”.
Số kết quả thuận lợi cho biến cố (X = 0) là C63 = 20.
20
2
= .
560 56
b) Biến cố (X = 1) là biến cố: “Chọn được 1 HS nam và 2 HS
Vậy P(X = 0) =

1
nữ”. Có C10
= 10 cách chọn 1 HS nam trong 10 HS nam và

C62 = 15 cách chọn 2 HS nữ trong 6 HS nữ. Theo quy tắc
nhân ta có 10⋅15 = 150 cách chọn 1 HS nam và 2 HS nữ”.
Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố (X = 1) là 150. Do đó
150 15
P(X = 1) =
=
.
560 56
c) Biến cố (X = 2) là biến cố: “Chọn được 2 HS nam và 1 HS
2
nữ”. Có C10
= 45 cách chọn 2 HS nam trong 10 HS nam và

C61 = 6 cách chọn 1 HS nữ trong 6 HS nữ. Theo quy tắc
nhân ta có 45 ⋅ 6 = 270 cách chọn 2 HS nam và 1 HS nữ.
Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố (X = 2) là 270. Do đó
270 27
P(X = 2) =
=
.
560 56
d) Biến cố (X = 3) là biến cố: “Chọn được 3 HS nam”. Số kết
3
quả thuận lợi cho biến cố (X = 3) là C10
= 120 .

120 12
=
.
560 56
Vậy bảng phân bố xác suất của X là:
Do đó P(X = 3) =

Vận
dụng 1

34

Luyện tập ứng
dụng tính xác
suất
thắng
cuộc
trong
một trò chơi

X

0

1

2

3

P

2
56

15
56

27
56

12
56

a) Tập các giá trị có thể của X là {3; 4;...; 20}.
Tiếp theo ta cần tính P(X = i), với i ∈ {3; 4;...;20}.
3
= 1140 .
Số kết quả có thể là C20

Biến cố (X = k) là biến cố: “Trong 3 quả cầu lấy ra có 1 quả

cầu đánh số k và 2 quả cầu đánh số nhỏ hơn k”.
Công đoạn 1: Chọn quả cầu mang số k: Có 1 cách chọn.
Công đoạn 2: Chọn 2 quả cầu trong tập {1; 2;...; k – 1}: Có

Ck2−1 cách chọn.
Vậy số kết quả thuận lợi là: 1 ⋅ Ck2−1 = Ck2−1 .
Vậy P ( X = k ) =

Ck2−1
3
C20

=

( k − 1)( k − 2 ) = ( k − 1)( k − 2 ) .
2 (1140 )
2280

Bảng phân bố xác suất của X là:
X

3

P

1
1140

...

k

( k − 1)( k − 2 )

....

20
0,15

2280
b) Biến cố: “Người chơi thắng” là biến cố hợp của hai biến
cố A = {X = 19} và B = {X = 20}.
Theo công thức cộng hai biến cố xung khắc ta có xác suất
thắng của người chơi là:

P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B )
= P(X = 19) + P(X = 20) ≈ 0,134 + 0,15 = 0,284.
2. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC
a) Kì vọng
HĐ3

Khởi
động
cho việc hình
thành
khái
niệm kì vọng

GV cho cả lớp suy nghĩ trong thời gian tối đa 5 phút rồi chỉ
định một em trả lời.
Trả lời: Có 0 ⋅ 10 + 1 ⋅ 20 + 2 ⋅ 23 + 3 ⋅ 25 + 4 ⋅ 15 + 5 ⋅ 7 =
236 vụ vi phạm trong tổng số 10 + 20 + 23 + 25 + 15 + 5 =
98 tối thứ Bảy. Vậy trung bình có 236 : 98 ≈ 2,408 vụ vi
phạm Luật Giao thông trong 98 tối thứ Bảy đang xét.

Khung
kiến
thức

Trình bày khái GV triển khai theo SGK.
niệm kì vọng
của biến ngẫu
nhiên rời rạc

Nhận
xét

Nêu ý nghĩa GV triển khai theo SGK.
của khái niệm
kì vọng
35

Ví dụ 5

Minh
hoạ GV triển khai theo SGK.
cách tính kì
vọng và ý
nghĩa của nó

Luyện
tập 2

Luyện tập tính
kì vọng và ý
nghĩa của nó.
Ví dụ 5 đóng
vai trò làm
mẫu

HS tự làm (trong 5 – 10 phút)GV gọi HS lên bảng. GV
nhận xét bài làm và tổng kết lại phương pháp giải.
Giải. Gọi X là số vụ vi phạm Luật Giao thông trên đoạn
đường AB vào tối thứ Bảy. Khi đó X là biến ngẫu nhiên rời
rạc có bảng phân bố xác suất như sau:
X

0

1

P

0,1

0,2

2

3

4

5

0,25 0,25 0,15 0,05

Ta có:
EX = 0 ⋅ 0,1 + 1 ⋅ 0,2 + 2 ⋅ 0,25 + 3 ⋅ 0,25 + 4 ⋅ 0,15 + 5 ⋅ 0,05
= 2,3.
Vậy trên đoạn đường AB vào tối thứ Bảy có trung bình 2,3
vụ vi phạm Luật Giao thông.
Ví dụ 6

Giải
quyết GV triển khai theo SGK.
một
trường
hợp trong tình
huống mở đầu

Vận
dụng 2

Tiếp tục giải
quyết
tình
huống
mở
đầu. Ví dụ 6
đóng vai trò
làm mẫu

Giả sử ở vòng 1 Minh chọn câu hỏi loại II. Gọi Y là số điểm
Minh nhận được. Ta lập bảng phân bố xác suất của Y.
Gọi A là biến cố “Minh trả lời đúng câu hỏi loại I”; B là biến
cố “Minh trả lời đúng câu hỏi loại II”.
P(A) = 0,8; P(B) = 0,6.
+) Nếu trả lời sai: Minh được 0 điểm. Cuộc chơi kết thúc
tại đây

( )

Vậy P(Y = 0)= P B = 1 − P ( B ) = 1 − 0,6 = 0,4 .
+) Nếu trả lời đúng Minh nhận 80 điểm và Minh sẽ bước
vào vòng 2, bốc ngẫu nhiên một câu hỏi loại I. Nếu trả lời
sai, Minh không có điểm và phải dừng cuộc chơi với số
điểm với số điểm nhận được là 80 + 0 = 80 điểm. Theo giả
thiết A và B là hai biến cố độc lập. Theo công thức nhân xác
suất cho hai biến cố độc lập ta có
36

( )

( )

P(Y = 80) = P BA = P ( B ) P A = (0,6)(1 − 0,8) = 0,12
Nếu trả lời đúng Minh nhận 80 điểm. Cuộc chơi kết thúc
tại đây và Minh được 20 + 80 = 100 điểm. Theo công thức
nhân xác suất cho hai biến cố độc lập ta có
P(Y = 100) = P(BA) = P(B)P(A)= 0,6⋅0,8 = 0,48
Bảng phân bố xác suất của Y là
Y

0

80

100

P

0,4

0,12

0,48

Từ đó
E(Y) = 0⋅0,4 + 80⋅0,12 + 100·0,48 = 57,6
Về trung bình Minh được 57,6 điểm
Theo Ví dụ 6 ta có E(X) = 54,4. Vì E(Y) > E(X) nên nếu ở
vòng 1 Minh chọn câu hỏi loại II thì về trung bình, Minh
được nhiều điểm hơn. Vậy ở vòng 1, Minh nên chọn câu
hỏi loại II.
b) Phương sai và độ lệch chuẩn
HĐ4

Khởi
động
cho việc hình
thành
khái
niệm phương
sai

HS tự làm (trong 10 phút) GV gọi HS lên bảng. GV nhận
xét bài làm và tổng kết lại phương pháp giải
a) Gọi X và Y tương ứng là doanh thu theo phương án 1 và
phương án 2.
1
2
1
1
E ( X ) = 8 ⋅ + 2 ⋅ = 4; E (Y ) = 3 ⋅ + 5 ⋅ = 4.
3
3
2
2
Doanh thu trung bình hai phương án là như nhau.

b) Nhà đầu tư ưa mạo hiểm sẽ chọn phương án 1. Nhà đầu
tư muốn sự an toàn sẽ chọn phương án 2.
Khung
kiến
thức

Trình bày khái GV triển khai theo SGK.
niệm phương
sai và độ lệch
chuẩn
Tính phương HS tự làm (trong 5 phút). GV gọi HS lên bảng.
sai và độ lệch Trả lời:
chuẩn của hai
biến
ngẫu
37

nhiên
HĐ4

trong

1
2
E ( X ) = 8 ⋅ + 2 ⋅ = 4.
3
3
16 + 8
2 1
2 2
V ( X ) = (8 − 4 ) ⋅ + (2 − 4 ) ⋅ =
=8
3
3
3

⇒ σ ( X ) = 8 ≈ 2,828.
1
1
+ 3 ⋅ = 4.
2
2
2 1
2 1
V (Y ) = ( 5 − 4 ) ⋅ + ( 3 − 4 ) ⋅ = 1
2
2
⇒ σ (Y ) = 1.

E (Y ) = 5 ⋅

Nhận
xét

Nếu ý nghĩa GV triển khai theo SGK.
và một cách
tính khác của
phương sai và
độ lệch chuẩn

Ví dụ 7

Minh hoạ tính GV triển khai theo SGK.
phương sai, độ
lệch
chuẩn
theo hai cách.
Ví dụ 7 đóng
vai trò làm
mẫu

Luyện
tập 3

Luyện tập tính
tính phương
sai, độ lệch
chuẩn theo hai
cách.

HS tự làm (trong 5 – 10 phút)GV gọi HS lên bảng.
GV nhận xét bài làm và tổng kết lại phương pháp giải.
Giải. E(X) = 0 ⋅ 0,16 + 1 ⋅ 0,18 + 2 ⋅ 0,25 + 3 ⋅ 0,28 + 4 ⋅ 0,13
= 2,04.
a) Từ định nghĩa ta có
V(X) =

( 0 − 2,04 )2 ⋅ 0,16 + (1 − 2,04 )2 ⋅ 0,18 + ( 2 − 2,04 )2 ⋅ 0,25
+ ( 3 − 2,04 ) ⋅ 0,28 + ( 4 − 2,04 ) ⋅ 0,13 = 1,6184 .
2

2

σ ( X ) = 1,6184 ≈ 1,2721 .
b) Theo công thức (2) trong SGK ta có
38

V(X) =
02 ⋅ 0,16 + 12 ⋅ 0,18 + 22 ⋅ 0,25 + 32 ⋅ 0,28 + 42 ⋅ 0,13 − ( 2,04 )

2

= 1,6184.

IV. ĐÁP SỐ – HƯỚNG DẪN – LỜI GIẢI BÀI TẬP
1.1 a) Gọi E là biến cố: “Ít nhất một ca cấp cứu vào tối thứ Bảy”. Biến cố đối E là biến cố:

“Không có một ca cấp cứu vào tối thứ Bảy”. Vậy E = {X = 0}. Thành thử
P(E) = 1 – P( E ) = 1 – P(X = 0) = 1 – 0,12 = 0,88.

b) Gọi F là biến cố: “Có ít nhất 3 ca cấp cứu vào tối thứ Bảy”.
Lập luận tương tự như Ví dụ 1 ta có:
P(B) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 0,19 + 0,08 + 0,02 = 0,29.

c) E(X) = 1,89; V(X) = 1,4379; σ( X ) ≈ 1,199.
1.2. a) Gọi E là biến cố: “Xảy ra ít nhất 2 cuộc gọi”. Biến cố đối E là: “Xảy ra nhiều nhất 1

cuộc gọi” là hợp của hai biến cố xung khắc là biến cố {X = 0} và biến cố {X = 1}.

( )

Theo quy tắc cộng xác suất: P E = P ( X = 0) + P ( X = 1) = 0,25 + 0,2 = 0,45.

( )

Vậy P(E) = 1 – P E = 1 – 0,45 = 0,55.
b) Gọi F là biến cố: “Xảy ra nhiều nhất 3 cuộc gọi”. F là hợp của hai biến cố xung
khắc: biến cố G: “Không xảy ra hoặc xảy ra 1 cuộc gọi” và biến cố H: “Xảy ra 2 hoặc
3 cuộc gọi”.
Theo quy tắc cộng xác suất P(F) = P(G) + P(H).
Biến cố G là hợp của hai biến cố xung khắc là biến cố {X = 0} và biến cố {X = 1}.
Theo quy tắc cộng xác suất P(G) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,25 + 0,2 = 0,45.
Biến cố H là hợp của hai biến cố xung khắc là biến cố {X = 2} và biến cố {X = 3}.
Theo quy tắc cộng xác suất P(H) = P(X = 2) + P(X = 3) = 0,15 + 0,15 = 0,3.
Vậy P(F) = P(G) + P(H) = 0,45 + 0,3 = 0,75.
c) E(X) = 0 ⋅ 0,25 + 1 ⋅ 0,2 + 2 ⋅ 0,15 + 3 ⋅ 0,15 + 4 ⋅ 0,13 + 5 ⋅ 0,12 = 2,07.
V(X) = 0 ⋅ 0,25 + 1 ⋅ 0,2 + 4 ⋅ 0,15 + 9 ⋅ 0,15 + 16 ⋅ 0,13 + 25 ⋅ 0,12 – 2,072 = 2,9451.

σ( X ) ≈ 1,7161.
39

1.3. Gọi X là số thẻ đỏ trong ba thẻ rút ra.

a) P(X = 0) =
P(X = 2) =

C63
3
C16

2 1
C10
C6
3
C16

=

C1 C 2 15
2
; P(X = 1) = 103 6 =
;
56
56
C16

=

C3
27
12
; P(X = 3) = 10
=
.
3
56
56
C16

Vậy bảng phân bố xác suất của X là:
X

0

1

2

3

P

2
56

15
56

27
56

12
56

E(X) =

1 ⋅ 15 + 2 ⋅ 27 + 3 ⋅ 12 105
=
;
56
56

V(X) =

1 ⋅ 15 + 4 ⋅ 27 + 9 ⋅ 12 1052 231 1052 1911
− 2 =
− 2 =
.
56
56
3136
56
56

1.4. a) Ta có

P(X = 0) = 0,6 ⋅ 0,6 = 0,36; P(X = 1) = 0,4 ⋅ 0,6 + 0,6 ⋅ 0,4 = 0,48;
P(X = 2) = 0,4 ⋅ 0,4 = 0,16.
P(Y = 0) = 0,5 ⋅ 0,5 = 0,25; P(Y = 1) = 0,5 ⋅ 0,5 + 0,5 ⋅ 0,5 = 0,5;
P(Y = 2) = 0,5 ⋅ 0,5 = 0,25.

Bảng phân bố xác suất của X là:
X

0

1

2

P

0,36

0,48

0,16

Bảng phân bố xác suất của Y là:
Y

0

1

2

P

0,25

0,5

0,25

b) E(X) = 1 ⋅ 0,48 + 2 ⋅ 0,16 = 0,8;
V(X) = 1 ⋅ 0,48 + 4 ⋅ 0,16 – 0,64 = 0,48;
E(Y) = 1 ⋅ 0,5 + 2 ⋅ 0,25 = 1;
V(Y) = 1 ⋅ 0,5 + 4 ⋅ 0,25 – 10,5.

40

1.5. Kí hiệu Aij là biến cố: “Chọn được quả cầu ghi số i và quả cầu ghi số j”.

P(X = 2) = P( A11 ) =
P(X = 3) = P( A12 ) =

C42
2
C10

=

C14C31
2
C10

6
.
45

=

12
.
45

P(X = 4) = P( A13 ) + P( A22 ) =
P(X = 5) = P( A14 ) + P( A23 ) =
P(X = 6) = P( A33 ) + P( A24 ) =
P(X = 7) = P( A34 ) =

C21C11
2
C10

=

C14C21
2
C10

C14C11
2
C10

C22
2
C10

+

+
+

C32
2
C10

=

C31C21
2
C10

C31C11
2
C10

=

11
.
45
=

10
.
45

4
.
45

2
.
45

Vậy bảng phân bố xác suất của X là:
X

2

3

4

5

6

7

P

6
45

12
45

11
45

10
45

4
45

2
45

41